如何进行归纳法的假设步骤?
归纳法是一种证明方法,通过已知的特定情况推断出一般情况的真实性。在进行归纳法证明时,一般需要遵循以下步骤:
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基础情况验证:首先,证明当n取某个特定值时结论成立,这个特定值通常是最小的自然数,称为基础情况。确保基础情况成立是归纳法的第一步。
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归纳假设:假设当n=k时结论成立,这就是归纳假设。即假设结论对于某个特定值k成立。
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归纳步骤:利用归纳假设,证明当n=k+1时结论也成立。这个步骤通常是证明n=k时的结论可以推出n=k+1时的结论。
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结论:通过以上步骤,可以得出结论:对于所有自然数n,结论都成立。
举例说明:假设要证明对于所有自然数n,1+2+3+...+n = n(n+1)/2。首先验证基础情况,当n=1时,左边为1,右边为1,符合等式。然后假设当n=k时成立,即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。接下来利用归纳假设,假设当n=k时成立,那么当n=k+1时,左边为1+2+3+...+k+(k+1),根据归纳假设为k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2,符合等式。因此,结论成立。
综上所述,归纳法的假设步骤包括验证基础情况、建立归纳假设、进行归纳步骤和得出结论的过程。