数学归纳法的证明过程中,归纳步骤是什么?
数学归纳法是一种证明数学命题的方法,分为归纳基础和归纳步骤两个部分。在证明一个数学命题P(n)对所有正整数n成立时,归纳步骤如下:
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归纳假设:首先假设当n=k时命题P(k)成立,即假设P(k)为真,其中k是一个正整数。
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归纳步骤:基于归纳假设,证明当n=k+1时命题P(k+1)也成立。这一步通常分为以下几个子步骤:
举例说明:证明对任意正整数n,1+2+3+...+n = n(n+1)/2 的命题。首先验证当n=1时等式成立,即1=1(1+1)/2。然后假设当n=k时等式成立,即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。接着证明当n=k+1时等式也成立,即1+2+3+...+k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。通过数学运算,我们可以推导出(k+1)(k+2)/2 = (k^2 + 3k + 2)/2 = (k+1)(k+2)/2,从而证明了命题对任意正整数n成立。